【题解】P1855 榨取kkksc03

2020-01-25 OI 笔记

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题目
思路
代码
反思

本文最后更新于天前，文中部分描述可能已经过时。

某天刷洛谷的时候看到这道题，被标题骗进来了（标题好爽（雾

毋庸置疑这是一道大水题，大概是看在 kkk 的面子上才标了「普及/提高-」难度

那么决定了，第一篇题解就给它吧！（其实只是想练习一下 MathJax 的使用（

题目

P1855 榨取kkksc03

思路

题目的废话很多（其实是洛谷的广告吧），抛开那些废话你会发现这是一道背包问题

我们只需将每个愿望消耗的时间和金钱看作费用，而每个愿望的价值都看作 $1$ ，那么这就是一道二维费用的 $01$ 背包问题

于是乎咱开一个三维数组 $f[i][j][k]$ ，其数值表示前 $i$ 个愿望恰好消耗 $j$ 的时间和 $k$ 的金钱所产生的最大价值，由于我们已经将每个愿望的价值看作 $1$ ，产生的最大价值也就等价于最大的愿望数

我们再用 $a[i]$ 表示第 $i$ 个愿望所消耗的时间，用 $b[i]$ 表示第 $i$ 个愿望所消耗的金钱

根据题意，得出状态转移方程：

f[i][j][k]=max(f[i-1][j][k],f[i-1][j-a[i]][k-b[i]]+1)

稍微解释一下，对于第 $i$ 个愿望，有“实现”还是“不实现”两种策略

如果我们实现第 $i$ 个愿望，那么前 $i$ 个愿望恰好消耗 $j$ 的时间和 $k$ 的金钱所产生的最大价值就等于前 $i-1$ 个愿望恰好消耗 $j-a[i]$ 的时间和 $k-b[i]$ 的金钱所产生的最大价值再加上第 $i$ 个愿望的价值（也就是 $1$ ）

如果我们不实现第 $i$ 个愿望，那么前 $i$ 个愿望恰好消耗 $j$ 的时间和 $k$ 的金钱所产生的最大价值就等于前 $i-1$ 个愿望恰好消耗 $j$ 的时间和 $k$ 的金钱所产生的最大价值

对于两种策略再取二者中的最大值，就可以得到当前阶段的最优策略

再来看看边界条件，首先初始化三维数组中的每一项为 $0$ ，不多解释

其次状态转移方程里有 $j-a[i]$ 和 $k-b[i]$ ，有没有想过这两项有可能减出来是负数呢？

所以代码中除了基本的三层循环外，还需要加入判断，一旦两者中存在一者为负，那么我们直接让它继承 $f[i-1][j][k]$ 的数值，也就是：

f[i][j][k]=f[i-1][j][k]

（我才不会告诉你我这题 WA 了两次就是因为这个←_←）

代码

dp 的代码实现还是相对比较容易的，直接上代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int f[101][201][201];
int a[101];
int b[101];

int main() {
    int n, m, t;
    int ans = 0;
    cin >> n >> m >> t;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i] >> b[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            for (int k = 1; k <= t; k++) {
                if (j >= a[i] && k >= b[i]) {
                    f[i][j][k] = max(f[i - 1][j][k], f[i - 1][j - a[i]][k - b[i]] + 1);
                } else {
                    f[i][j][k] = f[i - 1][j][k];
                }
            }
        }
    }
    cout << f[n][m][t] << endl;
    return 0;
}